基于超球重要抽樣的相關(guān)正態(tài)變量情況下的可靠性試驗(yàn)靈敏度分析

上述兩種基于Monte Carlo數(shù)字模擬法的可靠性試驗(yàn)靈敏度分析方法的顯著缺點(diǎn)是效率太低，由于絕大部分情況下引入的密度函數(shù)的密度中心處于遠(yuǎn)離失效域的安全域內(nèi)，因此大多數(shù)樣本點(diǎn)均落在安全域內(nèi)，對可靠性試驗(yàn)靈敏度的估計(jì)貢獻(xiàn)較小，為此本節(jié)將討論采用自適應(yīng)超球重要抽樣的方法來進(jìn)行相關(guān)正態(tài)變量情況下的可靠性試驗(yàn)靈敏度分析。

為理解方便，本節(jié)首先引入了超球重要抽樣法進(jìn)行可靠性試驗(yàn)及可靠性試驗(yàn)靈敏度分析的基本原理，并采用文獻(xiàn)[5]提出的一種自適應(yīng)超球重要抽樣可靠性試驗(yàn)分析方法的思想，在對自適應(yīng)超球重要抽樣進(jìn)行改進(jìn)的基礎(chǔ)上，形成一種搜索效率更高的自適應(yīng)重要抽樣法，并將其擴(kuò)展到相關(guān)正態(tài)變量情況下的可靠性試驗(yàn)靈敏度分析，建立了基于超球自適應(yīng)重要抽樣的可靠性試驗(yàn)靈敏度分析的直接法和轉(zhuǎn)換法。

 超球重要抽樣的基本原理

 失效概率分析

由于安全域中的樣本點(diǎn)對失效概率的貢獻(xiàn)較小，文[9]提出了可靠性試驗(yàn)分析的超球重要抽樣法。該方法的基本思想是確定安全域中的一個(gè)半徑為的超球，由于超球位于安全域，因此落入超球內(nèi)的樣本點(diǎn)無需計(jì)算極限狀態(tài)函數(shù)值即可判別其落在安全域，從而減少了可靠性試驗(yàn)分析所需的極限狀態(tài)函數(shù)的計(jì)算次數(shù)，提高了可靠性試驗(yàn)分析數(shù)字模擬方法的效率。從理論上來說，只要能夠確定安全域中的一個(gè)半徑為的超球，就可以提高計(jì)算的效率，顯然位于安全域中的超球的半徑越大，計(jì)算效率提高的越多。

由于獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間特殊的統(tǒng)計(jì)特性，傳統(tǒng)的超球重要抽樣可靠性試驗(yàn)分析均是在獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中完成的。在獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為球心，以坐標(biāo)原點(diǎn)到極限狀態(tài)方程上的最可能失效點(diǎn)的距離為半徑的超球是安全域中最大的超球。傳統(tǒng)的超球重要抽樣法一般是通過尋找標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的最可能失效點(diǎn)來確定最大的安全域超球的。

以記維獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間，記安全域內(nèi)超球的半徑，記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的極限狀態(tài)函數(shù)，F記失效域，則失效概率可由全概率公式寫成下列形式：

其中。

由于～且相互獨(dú)立，因此～，從而有

其中是自由度為的分布函數(shù)。

進(jìn)而失效概率可改寫為下式

基于超球重要抽樣的可靠性試驗(yàn)分析時(shí)，仍然采用Monte Carlo法抽取個(gè)獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的樣本點(diǎn)，首先篩選出這個(gè)樣本點(diǎn)中落在超球外的個(gè)樣本點(diǎn)，然后計(jì)算這個(gè)樣本點(diǎn)的極限狀態(tài)函數(shù)值，由下式給出失效概率的估計(jì)值。

對式所示的失效概率估計(jì)值求數(shù)學(xué)期望和方差分別有以下兩式成立。

顯然，基于超球重要抽樣的失效概率估計(jì)值是失效概率的無偏估計(jì)。

在數(shù)值模擬的過程中，考慮用樣本平均值和方差分別代替總體的數(shù)學(xué)期望和方差，可近似得到失效概率估計(jì)值的數(shù)學(xué)期望和方差分別如以下兩式所示。

與Monte Carlo法相比，在得到相同精度的失效概率估計(jì)值情況下，基于超球重要抽樣的方法節(jié)省的極限狀態(tài)函數(shù)的估計(jì)次數(shù)為，這種節(jié)省量隨失效概率的減小和超球半徑的增大而增大。

 可靠性試驗(yàn)靈敏度分析

在獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，對基于超球重要抽樣的可靠性試驗(yàn)分析方法進(jìn)行擴(kuò)展，即可得到相應(yīng)的可靠性試驗(yàn)靈敏度分析方法。從上述個(gè)樣本點(diǎn)中篩選出落在超球外的個(gè)樣本點(diǎn)后，可按下式估計(jì)失效概率對隨機(jī)變量的第個(gè)分量的分布參數(shù)的可靠性試驗(yàn)靈敏度。

與失效概率估計(jì)值的數(shù)學(xué)期望和方差的求解過程類似，可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值的數(shù)學(xué)期望和方差在數(shù)字模擬的過程中可分別由式和來估計(jì)，并且基于超球重要抽樣的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值同樣是的無偏估計(jì)。

 確定超球半徑的自適應(yīng)策略

超球重要抽樣需解決的關(guān)鍵問題是確定超球的半徑，一次二階矩方法(FORM)可以用來確定較優(yōu)超球半徑，但該方法不穩(wěn)健，尤其是針對含高維隨機(jī)變量的隱式極限狀態(tài)函數(shù)，一次二階矩法常常出現(xiàn)不收斂或是陷入局部較優(yōu)等問題。針對一次二階矩法存在的問題，文獻(xiàn)[5]提出了一種自適應(yīng)確定超球較優(yōu)半徑的方法，該方法的基本思想是在抽樣的過程中，利用失效域提供的信息逐步修正超球的半徑，使得其穩(wěn)健的收斂于較優(yōu)半徑。但文[5]在搜索較優(yōu)超球半徑時(shí)需要增加的額外工作量較大，本小節(jié)在文[5]自適應(yīng)尋找超球較優(yōu)半徑的基礎(chǔ)上提出了如下搜索超球較優(yōu)半徑的流程（下述流程的討論如無特別說明均是在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中進(jìn)行的）。

(1)、設(shè)置初始超球半徑；

與傳統(tǒng)方法有所不同，自適應(yīng)超球重要抽樣在設(shè)置初始半徑時(shí)應(yīng)滿足超球與失效域相交，這種的設(shè)置可以通過使得式所示的樣本點(diǎn)落在超球外的概率取很小的值來實(shí)現(xiàn)。由于結(jié)構(gòu)的失效概率一般較小，所以一般選取比較合適。選取后，可由下式確定初始。

(2)、設(shè)置隨機(jī)數(shù)的初始狀態(tài)并產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)；

(3)、計(jì)算半徑為的超球外樣本點(diǎn)的極限狀態(tài)函數(shù)并確定失效樣本；

對于的樣本點(diǎn)，計(jì)算其對應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)值，并保存計(jì)算結(jié)果，避免后續(xù)再次重復(fù)的計(jì)算該樣本點(diǎn)對應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)值。同時(shí)，對于的樣本點(diǎn)，按式或進(jìn)行失效概率或可靠性試驗(yàn)靈敏度的累加計(jì)算。

(4)、線性搜索以確定第次迭代的超球半徑；

對所有滿足且的樣本點(diǎn)，即落入第次迭代的超球外的失效樣本點(diǎn)，如圖4.1中的A、B點(diǎn)，分別求其概率密度函數(shù)，選取其中概率密度函數(shù)最大的樣本點(diǎn)，在其與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線方向上進(jìn)行線性搜索，由于是內(nèi)插搜索，因此一般經(jīng)過2到3次搜索，即可確定該連線與極限狀態(tài)的近似交點(diǎn)，交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離即為新的超球半徑。

圖4.1 決定超球較優(yōu)半徑的自適應(yīng)策略示意圖

(5)、計(jì)算第與次超球之間的樣本點(diǎn)的極限狀態(tài)函數(shù)值并確定失效樣本；

對于的樣本，計(jì)算其對應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)值，并保留結(jié)果，對于這些樣本中者，按式或進(jìn)行失效概率或可靠性試驗(yàn)靈敏度的累加計(jì)算。

(6)、重復(fù)(4)和(5)步直至下列收斂條件被滿足即可得到超球的較優(yōu)半徑

確定超球較優(yōu)半徑流程的迭代終止條件為失效概率的最大相對誤差低于失效概率的相對誤差限。由中心極限定理可知，失效概率估計(jì)值近似服從均值為、方差為的正態(tài)分布，因此根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)的定義有式成立。

由上式可得到失效概率估計(jì)值置信度為的置信區(qū)間如式所示。

由此可得失效概率的相對誤差限為

由于在上述數(shù)字模擬過程中，為失效概率的無偏估計(jì)，因此上式所示的失效概率的相對誤差限可近似表示為

如果將失效概率估計(jì)值的變異系數(shù)設(shè)置為0.1，則在給定95%的置信水平的情況下失效概率相對誤差的極限值為[5]

這個(gè)精度對于大多數(shù)工程應(yīng)用是合理的，而且實(shí)際誤差將是小于誤差極限值的。