基于Latin方抽樣和修正的Latin方抽樣的可靠性試驗靈敏度估計及其方差分析

MCKay在文獻[1]中第一次提出Latin方抽樣方法，指出它是一種有效而實用的受約束小樣本采樣技術。Latin方抽樣合并了隨機抽樣和分層抽樣的優點，是最好的小樣本Monte Carlo模擬方法之一[2]。工程中經常會遇到失效概率很小的情況，采用直接Monte Carlo法處理此類問題時要得到高精度的估算結果必須保證有足夠多的樣本，相應的要付出很大的計算代價。從工程的角度看，直接Monte Carlo法抽樣中有許多模擬循環實際上是相同的，因此在考慮參數的工程意義和隨機性質的前提下，從參數的不確定性范圍中選取參數值，其樣本無疑可以顯著減小，Latin方抽樣技術提供了這樣一個小樣本的約束采樣方案[3]，它比直接Monte Carlo法有效[4]。

本章首先采用Latin方抽樣方法對小失效概率結構進行可靠性試驗靈敏度分析，得到無偏的、更穩定的可靠性試驗靈敏度估算結果。在Latin方抽樣的基礎上文獻[5]引入統計相關的減小方程，以減小Latin方抽樣過程中排列矩陣各列間的統計相關，稱之為修正的Latin方抽樣法。采用修正的Latin方抽樣法進行可靠性試驗靈敏度分析，能夠進一步減小可靠性試驗靈敏度估計值方差的分散性。Latin方抽樣和修正的Latin方抽樣方法對基本變量的分布形式和相關性等均無限定，是一種廣泛適用于結構可靠性試驗靈敏度分析的小樣本抽樣方法。另外，本章還給出了單模式和多模式的數值及工程算例，以比較直接Monte Carlo、Latin方抽樣以及修正的Latin方抽樣三種不同方法進行可靠性試驗靈敏度分析時的抽樣效率和估算精度。

 基于Latin方抽樣的可靠性試驗靈敏度及其方差分析

結構的可靠性試驗靈敏度定義為失效概率對基本變量分布參數的偏導數。其Monte Carlo估計值及其方差分析已經在第2.1節中進行了詳細的說明。

為采用數字模擬的方法求解可靠性試驗靈敏度，可引入任意抽樣密度函數抽取個樣本點，然后用樣本函數均值來估計可靠性試驗靈敏度：

運用Monte Carlo法，采用式估計可靠性試驗靈敏度的顯著缺點是效率太低，從工程角度來看，有許多模擬循環實際上是相同的。而在考慮參數的工程意義和隨機性質的前提下，從參數的不確定性范圍中選取參數值，其樣本無疑可以顯著減小，Latin方抽樣技術提供這樣一個小樣本的約束采樣方案[3]。

采用Latin方抽樣方法進行可靠性試驗靈敏度分析時，首先按照Latin方抽樣的約束方案產生個樣本點，然后將這些樣本點代入式即可得到可靠性試驗靈敏度的估計值。

下面介紹Latin方抽樣產生受約束樣本點的方法。

用已知的累積分布函數描述每一個輸入變量，并將第個輸入變量的累積分布函數的范圍分成個非搭接的區間，每個區間由概率表征，如式所示。

并且

在等概率區間的情況下，取。

在抽樣過程中，區間由代表性參數代表，代表性參數可以有兩種選取方法，一是在區間中隨機選取，一是在區間質心處選取。

對于隨機選取的情況，首先在區間內生成個隨機數，運用式將隨機數變換為第個區間中的隨機數

顯然有式成立

其中和是第個區間的下界和上界。因此，每個區間上僅生成一個隨機數，求得約束隨機數后即可求得相應的隨機變量的隨機實現如下

其中表示第個輸入變量的逆累積分布函數。

對于在區間質心處選取代表性參數的情況，第個區間的代表性參數可以按照式所示的形式選取。

表示第個輸入變量的第個模擬的區間秩數。

應該注意的是，抽樣過程中區間的選取是隨機的。每個輸入變量的個觀測值與一個隨機排列的整數序列相聯系，這個整數序列就是上面提到的區間秩數，它是整數的隨機排列，并且要求這些排列是相互獨立的。對于每個變量的次模擬都將有一個的隨機排列的整數序列，若將個變量的隨機排列的整數矩陣記為，那么對于個變量的次模擬，矩陣有行列。由此可以知道第次抽樣對應的各變量的區間秩數就由矩陣中的第行元素代表，也就是說，矩陣是獲得隨機輸入樣本的抽樣策略。

按照上述的抽樣過程產生樣本后，采用式可以估算可靠性試驗靈敏度，將所產生的樣本分別代入式、和式、可以得到可靠性試驗靈敏度估計值的方差和變異系數。用上述Latin方抽樣產生的樣本進行可靠性試驗靈敏度分析, 可以得到可靠性試驗靈敏度的無偏估計[6]。