正交多項(xiàng)式法擬合密度函數(shù)

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)可用高階矩的展開式逼近，而且展開式為正態(tài)分布乘一修正系數(shù)，所以可以展開為帶權(quán)的多項(xiàng)式。下面給出利用樣本的前階矩近似擬合密度函數(shù)的過程。本文取l=6，即利用失效參數(shù)樣本的前6階矩近似擬合參數(shù)的條件密度函數(shù)。

選取區(qū)間上的正交多項(xiàng)式

作為概率密度擬合的基函數(shù)，其中表示第k項(xiàng)多項(xiàng)式中x的m次冪項(xiàng)的系數(shù)，當(dāng)上述正交多項(xiàng)式基的類型選定后，其系數(shù)即可確定。例如，本文選取埃爾米特正交多項(xiàng)式作為基函數(shù)來擬合條件密度函數(shù)，其前7項(xiàng)分別為

則=1；=0、=1；=-1、=0、=1；=0、=-3、=0、=1；由正交多項(xiàng)式的性質(zhì)有

其中權(quán)函數(shù)的選取將根據(jù)選用的正交多項(xiàng)式類型的不同而不同。若選用埃爾米特正交多項(xiàng)式作為基函數(shù)，則權(quán)函數(shù)取為下面的形式

其中、分別為總體均值和標(biāo)準(zhǔn)差。經(jīng)函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化之后，權(quán)函數(shù)可取為

而為確定常數(shù)，當(dāng)選定正交多項(xiàng)式基的類型后，即可由式的積分確定。文中選定埃爾米特多項(xiàng)式作為基函數(shù)時，容易確定。

用帶權(quán)的正交多項(xiàng)式逼近失效樣本的概率密度函數(shù)函數(shù)為

上式中為待定系數(shù)，可由式確定。

其中為樣本的m階中心矩。

將擬合得到的失效參數(shù)樣本的條件密度函數(shù)(式所示)及8.1節(jié)中確定的、代入式即可求得失效概率函數(shù)。

分別按照上述的自適應(yīng)核密度估計(jì)法和正交多項(xiàng)式法的步驟擬合得到失效概率函數(shù)后由式所示的全局靈敏度求解公式即可進(jìn)行全局靈敏度的求解。